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独立评论

所跟帖: 平正 楼下1、2题参考答案   2021-10-11 18:16:21  


作者: 陆七   第二题的简单些的算法 2021-10-11 18:49:15  [点击:1119]
如果认识到 \( x^4 + x^2 + 1\) 可以因式分解,计算就简单多了。

实际上, \( x^4 + x^2 + 1 = ( x^2 + x + 1)( x^2 -x + 1)\)。 这样,

\( \frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1} = \frac{x^2}{( x^2 + x + 1)( x^2 -x + 1)} = \frac{ax}{ x^2 -x + 1}\) 。

由条件 \( x^2 + x + 1 = \frac{x}{a}\), 可知\( x^2 - x + 1 = \frac{x}{a}- 2x\)。

所以,\( \frac{x^2}{x^4 + x^2 + 1} = = \frac{ax}{ x^2 -x + 1} =\frac{a^2}{ 1-2a} \) 。

注意, 当 \( a = \frac{1}{2}\) 时, 原题无解。因为\( x^4 + x^2 + 1 = 0\) .

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