对这里的Tex不熟，改了多次。


1，记大圆半径为R ，小圆半径为r 。另记M点垂线为\(l_1\)，记\(l_1\)与MN的夹角为\(\theta\)。从AB=24可得

\(R\sin \theta + r\sin \theta =12 \;\; (1) \)，

记过N点而平行于AB的直线为\(l_2\)，那么\(l_1 \perp l_2\)。注意MN与\(l_2\)之夹角跟\(\theta\)互为余角。所以，

\(R\cos \theta + r\cos \theta =5 \;\; (2)\)。

在以MN为斜边，两条直角边分别在\(l_1，l_2\)上的三角形中，用勾股定理得

\[\begin{align}
(R+r)^2\sin^2\theta+(R-r)^2=(R+r)^2，\;\; \mbox{注意}\; 1-\sin^2\theta=\cos^2\theta，
\;\; \mbox{移项得} \\
(R-r)^2=(R+r)^2\cos^2\theta \;\; \;\;\;\;\;\;\; \mbox{即}\;\;\\
\cos\theta=(R-r)/(R+r) \;\;\;\;\;（3）
\end{align}\]
从（1），（2）得
\[\begin{align}
(R+r)\sin\theta=12 \;\; \;\;\;\;\;\;(4)\\
(R+r)\cos\theta=5 \;\; \;\;\;\;\; (5)
\end{align}\]
（5）代入（3）可得
\(R-r=5\)。把\(R=r+5\) 再代入（4）可得
\(\sin\theta=12/(5+2r) \;\;\;\;\;\;(6)\)。

把\(R=r+5\) 代入（5）得
\(\cos\theta=5/(5+2r) \;\;\;\;\;\;(7)\)。

注意(6)和（7）给出正弦和余弦表达式，它们平方和为1。所以，
\(\frac{12^2+5^2}{(5+2r)^2}=1。\)
解之，r=4,R=9。

2，
原式可改为 \( \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{1+i/n}}\frac{1}{n}\)。

当\(n\to \infty\)，这个级数和等同于
\(\int_0^1\frac{1}{\sqrt{1+x}}dx=2 (\sqrt{2}-1)\)

锟斤拷锟洁辑时锟斤拷: 2021-09-27 23:15:57