1. 级数\(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}{1 \over {{(\ln(n))^{100}}}}\) 发散。
设实数\( p >0\)，我们来证明：\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\ln x}{x^p}=0\).
学过微积分的朋友都知道有个l'Hospital 法则： 如果\(f\rightarrow\infty\)， \(g\rightarrow\infty\), 可以求\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)。 如果这个极限存在， 则极限\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\) 也存在。且
\( \displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)。
现在 \( f(x)=\ln(x)\) ，\(g(x)=x^p\)。
\( \frac{f'(x)}{g'(x)} =\displaystyle\frac{1\over x}{px^{p-1}}=\displaystyle\frac{1}{px^p}\)。当 \( x\rightarrow\infty\)时， 极限为0. 因而\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\ln n}{n^p}=0\). 取\( p= {1\over 100}\)， 当 \( n\)足够大时，\(\ln n< n^{1\over 100}\)即 \((\ln n)^{100}< n\)。 \( {1 \over {{(\ln(n))^{100}}}}>{1 \over n}\)。 原级数发散。
2. 级数\(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}{1 \over {{(\ln(n))}^{\ln(n)}}}\) 收敛。
我们用积分判别法 。
如果\(f(x)\) 是单调实函数， 则
\( \displaystyle\sum^{\infty}f(n)\) 与 \(\displaystyle\int^{\infty}f(x)dx\) 同时收敛或发散。
在积分 \(\displaystyle \int^{\infty}\frac{dx}{\ln(x)^{\ln(x)}}\)中做变量替换 \(y =\ln(x)\), \(x=e^y\) , \(dx = e^ydy\)，积分变为 \(\displaystyle \int^{\infty}\frac{e^ydy}{y^y}\)。\(y>2\) 时， 被积函数小于 \(\frac{1}{\left({y\over e}\right)^2}\)， 所以积分收敛。
设实数\( p >0\)，我们来证明：\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\ln x}{x^p}=0\).
学过微积分的朋友都知道有个l'Hospital 法则： 如果\(f\rightarrow\infty\)， \(g\rightarrow\infty\), 可以求\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)。 如果这个极限存在， 则极限\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\) 也存在。且
\( \displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)。
现在 \( f(x)=\ln(x)\) ，\(g(x)=x^p\)。
\( \frac{f'(x)}{g'(x)} =\displaystyle\frac{1\over x}{px^{p-1}}=\displaystyle\frac{1}{px^p}\)。当 \( x\rightarrow\infty\)时， 极限为0. 因而\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\ln n}{n^p}=0\). 取\( p= {1\over 100}\)， 当 \( n\)足够大时，\(\ln n< n^{1\over 100}\)即 \((\ln n)^{100}< n\)。 \( {1 \over {{(\ln(n))^{100}}}}>{1 \over n}\)。 原级数发散。
2. 级数\(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}{1 \over {{(\ln(n))}^{\ln(n)}}}\) 收敛。
我们用积分判别法 。
如果\(f(x)\) 是单调实函数， 则
\( \displaystyle\sum^{\infty}f(n)\) 与 \(\displaystyle\int^{\infty}f(x)dx\) 同时收敛或发散。
在积分 \(\displaystyle \int^{\infty}\frac{dx}{\ln(x)^{\ln(x)}}\)中做变量替换 \(y =\ln(x)\), \(x=e^y\) , \(dx = e^ydy\)，积分变为 \(\displaystyle \int^{\infty}\frac{e^ydy}{y^y}\)。\(y>2\) 时， 被积函数小于 \(\frac{1}{\left({y\over e}\right)^2}\)， 所以积分收敛。
