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\[\begin{align}
b^2 &= \left(\frac{a}{2} + d \right)^2 + h^2 \\
c^2 &= \left(\frac{a}{2} - d \right)^2 + h^2
\end{align}\]
两式相加
\[
b^2 + c^2 = \frac{a^2}{2} + 2d^2 + 2h^2
\]
注意
\[
L_a^2 = d^2 + h^2
\]
因而
\[
L_a^2 = \frac{1}{2}\left(b^2 + c^2 - \frac{a^2}{2}\right)
\]
如果\(L_b\)是\(b\)边的中线，同样有
\[
L_b^2 = \frac{1}{2}\left(a^2 + c^2 - \frac{b^2}{2}\right)
\]
现在假设 \(a \gt b\)
\[
L_a^2 = \frac{1}{2}\left(b^2 + c^2 - \frac{a^2}{2}\right)
\lt \frac{1}{2}\left(a^2 + c^2 - \frac{a^2}{2}\right)
\lt \frac{1}{2}\left(a^2 + c^2 - \frac{b^2}{2}\right)
= L_b^2
\]
\[
L_a \lt L_b
\]