第一题：
如果正方形边长x=√(13)，那么左下方的小三角形等腰。你求得左下角：t=arccos(2/√(13))。

设左下方小三角形右边的角为α.下面证明cos α≠cos t。
记右下角为 s。对左右两个小三角形用正弦定理可得两个方程
x/sin(t)=√(13)/sin α和 x/sin（s）=√(5)/cos α。
由此可得
sin(s)/sin(t)=√(13/5)×cot(α)——（公式 *）
对大三角形用正弦定理：
sin(s)/sin(t)=15√(13)/[21√(5)]。
根据上面两方程可得cot(α)=5/7。
从而cos α=5/√(74).
cos α≠cos t.

俺的“无脑解法”是：连接正方形在左、右两边的顶点，从而得到一个三角形。其两个边长已知。
对这个三角形用正弦定理，可得“公式**”
设下面两个小三角形的上方顶角分别为t和s（与樊教授的t不同）。
与前面类似可以得到与“公式*”一样的公式。也就是s 可以用t 的函数来代替。

用上面“公式*”，代入“公式**”可得一个二次方程（未知量是\(u=\sin^2 t\))
很繁。所以没做。

设k=7√(5)/(5√(13))。方程是
\(\frac{18\sqrt{26}}{17\sqrt{10}}\sqrt{1-u}\sqrt{1-k^2u}=(1-u)+(81\times 26/2890)(1-k^2u)-
(\frac{9\sqrt{26}}{17\sqrt{10}}k-1)^2u\),

两边平方便可得一元二次方程。已经演算过常数项两边不等，所以不是恒等式，有解。

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俺看了一下樊教授的推导。
“正方形跟三角形三个边的交点坐标为(16*sqrt(13)*cos(t), 16*sqrt(13)*sin(t))/7”似乎不对。
左边的交点坐标是（√(13)*cos(t)，√(13)*sin(t))。

第二题确实简单。关键是求BC与OA的交点D与O的距离。设x=|OD|
由相似三角形，x/(3-x)=3/4.可得x=9/7。
其他的就简单了
左下方三角形面积=4×（12/7）/2
圆形面积9 π
总面积=24/7+ （9 π/4）-3×（9/7）/2。

锟斤拷锟洁辑时锟斤拷: 2023-09-06 18:35:47