第一题


现在证明， D是 BC 的中点。 做平行四边形的第二条对角线AC。 第一条对角线是三角形ABC AC 边的中线。 如果D不是 BC 的中点， 做三角形ABC BC 边的中线，即图中红线。则 AC 边的中线将红线截成上下长度比为 2:1 的两部分。 但 AC 边的中线同时把AD 也截成上下长度比为 2:1 的两部分。这样两个交点的连线应当平行于底边。 这是不可能的。所以D是 BC 的中点。

三角形ABD 的面积是平行四边形的 1/4, 96.

第二题


延长 BD 交 CO 于 E。 因角CBD 是直角， CE 是圆的直径。 所以CD = DE，\[ \angle{OCD} = \angle{OED} = \frac{1}{2}\angle{CDB} = \frac{\pi}{8}。\]设 \( r = \)圆半径， 则 \[ a = r - r\tan \frac{\pi}{8}= r( 1 - \frac{\sin \frac{\pi}{4}}{1 + \cos \frac{\pi}{4}})\] 所以， \[r = a(1 + \frac{\sqrt{2}}{2} ) \]而所求三角形面积为 \[ \frac{1}{2}r(r-a) = a^2 \frac{1}{2}(1 + \frac{\sqrt{2}}{2} )\frac{\sqrt{2}}{2}= \frac{1}{4}a^2(2 + \sqrt{2})\]

锟斤拷锟洁辑时锟斤拷: 2023-06-17 15:57:58