设\( a = \sqrt{29 -x}, b = \sqrt{10 -x}\). 于是 \( a^2 - b^2 = 19\), 或 \( (a + b)(a - b)= 19\).

因为 \(y\)是整数 而\( a + b = y\), 所以 \( a + b\)是 整数, \( a - b\)也是有理数. 由此\( a , b\)都是有理数. 又因为 \(x\)是整数, 所以\(a, b\)都是整数的平方根, 所以\(a, b\)必是整数.

在等式 \( (a + b)(a - b)= 19\)中, 19 是质数, 所以 \( a + b= 19, a - b = 1\).这样 \( a = 10, b = 9\).
方程的唯一整数解是\( x = -71, y = 19\).

锟斤拷锟洁辑时锟斤拷: 2023-06-15 00:56:29