第一题：
设正方形边长为a，半径为r。显然r=a×√(2)。


由下方的直角三角形可求出：a=4√(3)，r=4√(6)
θ=arctan √(2)。
sinθ=4√(3)/12=√(3)/3。（公式1）

∠BAO=90+θ（已求出）。
sin(90+θ)=cosθ=4√(6)/12=√(6)/3。

△OAB中，AO=4√(3),OB=4√(6),∠BAO 均为已知，
由正弦定理，
sin ∠ABO =√(1/2)×sin(90+θ)=√(3)/3。（公式2）
由公式（1） 和（2） 可知
∠ABO = θ （公式3）


再用正弦定理可以求出x：
x=AO×sin ∠AOB / sin ∠ABO
=[4√(3)×3/√(3)]×sin ∠AOB
=12 × sin ∠AOB

注意90-θ是△ABO的外角，所以∠AOB=90-θ- ∠ABO
由公式（3），∠AOB=90-2θ
sin ∠AOB =cos(2θ)
=2cosθ cosθ -1
=2 ×6/9-1
=1/3.

故x=12 × sin ∠AOB =4。


第二题。
如图连接AB。易证△ABC与左下方直角三角形全等。所以AB=3。
设AC=d。
以O为原点设立坐标系，则B的坐标为（3，3+d)
由 3×3+ （3+d）×（3+d)=5×5可知，d=1。

所以正方形边长=√(10)

在右下方的三角形中，右边的角=∠ABC=arctan (1/3)，另两边长度分别为√(10)和（5-1）。
x可用余弦定理求出。

cos∠ABC=3/√(10).

x=10+16-2×√(10)×4 cos(∠ABC)=2

锟斤拷锟洁辑时锟斤拷: 2023-05-10 23:48:13