平正兄问：高维极坐标是什么？需要多少个参数表示一个点？

刘刚兄答：“极坐标就是指一个方向矢量p加上这个从极点到指定点的长度r。p = x/||x||，r = ||x||。”没有直接回答第二问。

不过，从“p = x/||x||”可知，参数个数等于x的分量，也就是n。

其实，“高维极坐标”有普遍接受的定义，也就是如\( 0^0=1 \)，是数学界的定义，最早由欧拉给出（ Euler, Leonhard (1988). Chapter 6, §99. Introduction to analysis of the infinite,），与曾部长在中学学的指数定义无关：不是推导出来的，而是“命名”式的定义。

n维球坐标与直角坐标的关系是

\( 1\leq j \leq n-2 \):
\( x_j = r (\prod_{k=1}^{j-1} \sin \phi_k ) \cos \phi_j \)

\( x_{n-1}= r (\prod_{k=1}^{n-2} \sin \phi_k ) \cos \theta, \)

\( x_{n }= r (\prod_{k=1}^{n-2} \sin \phi_k ) \sin \theta,\)

条件（定义域）：
\( r \geq 0,
0\leq \phi_k \leq \pi,
0\leq \theta \leq 2\pi \)

当n=3时，与本科《数学分析》一年级课程中的三位极坐标一致。

新的问题是，对给定正实数c，求n维球 \( ||x|| \leq c\)的体积。

提示：用极坐标，仅供参考。刘刚兄下面有道题：求多维凸多面体体积。多维球体积应该容易得多。

锟斤拷锟洁辑时锟斤拷: 2023-04-09 23:14:55