两边取对数 \(\log_x\)


\[
x^2=\log_x3 + 3x -\log_x\left(x+\frac{1}{x}\right) -1\]。所以

\[
\log_x\left(\frac{x+\frac{1}{x}}{3}\right) = -\left(x^2 -3x + 1\right) \]即


\[
\log_x\left(\frac{x+\frac{1}{x}}{3}\right) = x\left(3-\left( x + \frac{1}{x}\right) \right)\]


因\(x>1\), \( 3 > x+\frac{1}{x}\)或 \( 3 < x+\frac{1}{x}\)时， 上式两边符号相反，只有 \( 3 = x+\frac{1}{x}\), 上面等式才成立。