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独立评论

所跟帖: 平正 又两题:   2021-10-06 19:53:22  


作者: 鸡头肉   试解一把 2021-10-07 06:47:31  [点击:883]
第一题:用 \(x\) 表示待求的角平分线长度。由三角形面积公式
\[
\frac{1}{2}cx\sin(\alpha/2)+\frac{1}{2}bx\sin(\alpha/2)=\frac{1}{2}bc\sin\alpha~\Rightarrow~\cos(\alpha/2)=\frac{(b+c)x}{2bc}
\]
代入余弦定理 \(m^2=x^2+c^2-2cx\cos(\alpha/2)\) 得
\[
m^2=x^2+c^2-\cancel{2}\cancel{c}x\cdot\frac{(b+c)x}{\cancel{2}b\cancel{c}}=c^2-\frac{c}{b}x^2~\Rightarrow~x=\sqrt{\frac{b(c^2-m^2)}{c}}=\sqrt{bc-\frac{bm^2}{c}}
\]
若希望题中的数据 \(b,c,m,n\) 以更对称的方式出现在 \(x\) 的表达式中,则可运用正弦定理
\[
\left.\begin{array}{l}
\displaystyle
\frac{c}{\sin\delta}=\frac{m}{\sin(\alpha/2)}
\\
\displaystyle
\frac{b}{\sin(\pi-\delta)}=\frac{n}{\sin(\alpha/2)}
\end{array}\right\}\Rightarrow\frac{b}{c}=\frac{n}{m}~\Rightarrow~x=\sqrt{bc-mn}
\]

第二题
\[
\sqrt{\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}}=\sqrt{\frac{(1+\sin\theta)^2}{1-\sin^2\theta}}=\frac{1+\sin\theta}{\vert\cos\theta\vert}
\]

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