[文集] [专题] [检索] [独立评论] [海阔天空] [矛盾江湖] [全版论坛]

独立评论

所跟帖: 平正 计算:   2021-09-27 12:31:17  


作者: 赛昆   试解(发现小错,又改过,第一题r=4)。 2021-09-27 13:57:19  [点击:1068]
对这里的Tex不熟,改了多次。


1,记大圆半径为R ,小圆半径为r 。另记M点垂线为\(l_1\),记\(l_1\)与MN的夹角为\(\theta\)。从AB=24可得

\(R\sin \theta + r\sin \theta =12 \;\; (1) \),

记过N点而平行于AB的直线为\(l_2\),那么\(l_1 \perp l_2\)。注意MN与\(l_2\)之夹角跟\(\theta\)互为余角。所以,

\(R\cos \theta + r\cos \theta =5 \;\; (2)\)。

在以MN为斜边,两条直角边分别在\(l_1,l_2\)上的三角形中,用勾股定理得

\[\begin{align}
(R+r)^2\sin^2\theta+(R-r)^2=(R+r)^2,\;\; \mbox{注意}\; 1-\sin^2\theta=\cos^2\theta,
\;\; \mbox{移项得} \\
(R-r)^2=(R+r)^2\cos^2\theta \;\; \;\;\;\;\;\;\; \mbox{即}\;\;\\
\cos\theta=(R-r)/(R+r) \;\;\;\;\;(3)
\end{align}\]
从(1),(2)得
\[\begin{align}
(R+r)\sin\theta=12 \;\; \;\;\;\;\;\;(4)\\
(R+r)\cos\theta=5 \;\; \;\;\;\;\; (5)
\end{align}\]
(5)代入(3)可得
\(R-r=5\)。把\(R=r+5\) 再代入(4)可得
\(\sin\theta=12/(5+2r) \;\;\;\;\;\;(6)\)。

把\(R=r+5\) 代入(5)得
\(\cos\theta=5/(5+2r) \;\;\;\;\;\;(7)\)。

注意(6)和(7)给出正弦和余弦表达式,它们平方和为1。所以,
\(\frac{12^2+5^2}{(5+2r)^2}=1。\)
解之,r=4,R=9。

2,
原式可改为 \( \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{1+i/n}}\frac{1}{n}\)。

当\(n\to \infty\),这个级数和等同于
\(\int_0^1\frac{1}{\sqrt{1+x}}dx=2 (\sqrt{2}-1)\)
最后编辑时间: 2021-09-27 16:15:57

加跟贴

笔名:     新网友请先注册笔名 密码:
主题: 进文集
内容: