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独立评论

所跟帖: 脝陆脮媒 录脝脣茫拢潞   2021-09-27 19:31:17  


作者: 脠眉脌楼   脢脭陆芒拢篓路垄脧脰脨隆麓铆拢卢脫脰赂脛鹿媒拢卢碌脷脪禄脤芒r=4拢漏隆拢 2021-09-27 20:57:19  [点击:1344]
对这里的Tex不熟,改了多次。


1,记大圆半径为R ,小圆半径为r 。另记M点垂线为\(l_1\),记\(l_1\)与MN的夹角为\(\theta\)。从AB=24可得

\(R\sin \theta + r\sin \theta =12 \;\; (1) \),

记过N点而平行于AB的直线为\(l_2\),那么\(l_1 \perp l_2\)。注意MN与\(l_2\)之夹角跟\(\theta\)互为余角。所以,

\(R\cos \theta + r\cos \theta =5 \;\; (2)\)。

在以MN为斜边,两条直角边分别在\(l_1,l_2\)上的三角形中,用勾股定理得

\[\begin{align}
(R+r)^2\sin^2\theta+(R-r)^2=(R+r)^2,\;\; \mbox{注意}\; 1-\sin^2\theta=\cos^2\theta,
\;\; \mbox{移项得} \\
(R-r)^2=(R+r)^2\cos^2\theta \;\; \;\;\;\;\;\;\; \mbox{即}\;\;\\
\cos\theta=(R-r)/(R+r) \;\;\;\;\;(3)
\end{align}\]
从(1),(2)得
\[\begin{align}
(R+r)\sin\theta=12 \;\; \;\;\;\;\;\;(4)\\
(R+r)\cos\theta=5 \;\; \;\;\;\;\; (5)
\end{align}\]
(5)代入(3)可得
\(R-r=5\)。把\(R=r+5\) 再代入(4)可得
\(\sin\theta=12/(5+2r) \;\;\;\;\;\;(6)\)。

把\(R=r+5\) 代入(5)得
\(\cos\theta=5/(5+2r) \;\;\;\;\;\;(7)\)。

注意(6)和(7)给出正弦和余弦表达式,它们平方和为1。所以,
\(\frac{12^2+5^2}{(5+2r)^2}=1。\)
解之,r=4,R=9。

2,
原式可改为 \( \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{1+i/n}}\frac{1}{n}\)。

当\(n\to \infty\),这个级数和等同于
\(\int_0^1\frac{1}{\sqrt{1+x}}dx=2 (\sqrt{2}-1)\)
锟斤拷锟洁辑时锟斤拷: 2021-09-27 23:15:57

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