第二题俺给出的两个表达式实际上是同一个解，\(z=i\ln(\sqrt{26}+5)=i\ln[(\sqrt{26}-5)^{-1}]=-i\ln(\sqrt{26}-5)\)。俺遗漏的另一解 \(z'\) 除了用平兄的办法，也可以如下得出：因 \(\sin z\) 的泰勒展开系数均为实数，俺们有
\[
\sin\bar{z}=\overline{\sin z}=-5i
\]
因此 \(\sin(\pi+\bar{z})=-\sin\bar{z}=5i\)，这表明 \(z'=\pi+\bar{z}=\pi-i\ln(\sqrt{26}+5)\)。

符合本题题意 (幅角在 \(0\) 和 \(2\pi\) 之间) 的解实际上有两组，每组各含无穷个不同的根，这些根分别以 \(2\pi\) 为实周期分布在复平面上：
\[
\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle
z_k=2k\pi+i\ln(\sqrt{26}+5)
\\
z'_k=(2k+1)\pi-i\ln(\sqrt{26}+5)
\end{array}\right.\quad
k=0,\pm1,\pm2,\cdots
\]

锟斤拷锟洁辑时锟斤拷: 2021-09-05 10:29:46